МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ АРТИЛЕРІЙСЬКОЇ СТРІЛЬБИ З УРАХУВАННЯМ СТОХАСТИЧНИХ ФАКТОРІВ ТА ОПТИМІЗАЦІЇ КЕРУВАННЯ ВОГНЕМ

 У роботі розглянуто узагальнену математичну модель артилерійської стрільби, що поєднує детерміновані рівняння зовнішньої балістики, стохастичні збурення та методи оптимізації управління вогнем. Особливу увагу приділено врахуванню впливу метеорологічних умов, ефекту Кориоліса, обертання снаряда та моделей розсіювання. Запропоновано підхід до оцінювання ймовірності ураження цілі та мінімізації витрат боєприпасів. Результати моделювання підтверджують ефективність комплексного використання чисельних та ймовірнісних методів у сучасних системах управління вогнем. Модель базується на системі диференціальних рівнянь поступального та обертального руху снаряда в тривимірному просторі з урахуванням сили тяжіння, аеродинамічного опору, вітру, ефекту Кориоліса та моменту Магнуса. Обертальний рух описується рівняннями Ейлера. Задача наведення є краєвою для визначення початкових параметрів стрільби. Стохастичне розширення моделі з вінерівськими процесами призводить до розсіювання, описуваного двовимірним нормальним розподілом з коваріаційною матрицею, що визначає еліпси ймовірності. Показники точності включають CEP, середньоквадратичне відхилення та ймовірні відхилення. Ймовірність ураження обчислюється як інтеграл щільності по області цілі з функцією ураження. Задачі оптимізації – максимізація ймовірності або мінімізація пострілів, з використанням градієнтних та квазиньютонівських методів. Адаптивне управління в замкненому контурі з БПЛА використовує байєсівське оцінювання та активне навчання для зменшення невизначеності. Стійка оптимізація враховує еліпсоїдальну невизначеність метеопараметрів через мінімаксний підхід. Результати демонструють скорочення пристрілювальних пострілів у 1,5–2 рази, стійкість до невизначеностей та ефективну оптимізацію ресурсів у сучасних системах вогневого управління.

Ключові слова: балістика, математичне моделювання, артилерія, стохастичні процеси, оптимізація, управління вогнем, розсіювання, ймовірність ураження.

ПОВНИЙ ТЕКСТ СТАТТІ

 Список використаних джерел

1. McCoy R. L. Modern Exterior Ballistics. Atglen : Schiffer Publishing, 1999. 328 p.

 2. Carlucci D. E., Jacobson S. S. Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition. Boca Raton : CRC Press, 2008. 502 p.

 3. Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Trans. ASME, J. Basic Engineering. 1960. Vol. 82, No. 1. P. 35–45. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3662552

 4. Simon D. Optimal State Estimation: Kalman, H∞, and Nonlinear Approaches. Hoboken : Wiley-Interscience, 2006. 526 p. DOI: https://doi.org/10.1002/0470045345

 5. Hairer E., Nørsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Berlin : Springer, 1993. 528 p.

 6. Grubbs F. E. Statistical Measures of Accuracy for Riflemen and Missile Engineers. Ann Arbor, 1964. 83 p.

 7. Keith A. J., Ahner D. K. A Survey of Decision Making and Optimization Under Uncertainty : Annals of Operations Research, 2021. Vol. 300, No. 2. P. 319–353. DOI: 10.1007/s10479-019-03431-8.

 8. Bertsimas D., Brown D. B., Caramanis C. Theory and Applications of Robust Optimization. SIAM Review. 2011. Vol. 53, No. 3. P. 464–501. DOI: https://doi.org/10.1137/080734510

 9. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge : Cambridge University Press, 2004. 716 p. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441

 10. Tan C., Cai Y., Wang H. et al. Vehicle State Estimation Combining Physics-Informed Neural Network and Unscented Kalman Filtering on Manifolds // Sensors. 2023. Vol. 23. Art. 6665. DOI: 10.3390/s23156665.

 11. Zong, Y., Barajas-Solano, D., & Tartakovsky, A. M. (2025). Randomized physics-informed neural networks for Bayesian data assimilation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 436, Article 117670. https://doi.org/10.1016/j.cma.2024.117670

 12. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G. E. Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear PDEs. J. Comput. Phys. 2019. Vol. 378. P. 686–707. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045

 13. Driels M. Weaponeering: Conventional Weapon System Effectiveness. 2nd ed. Reston : AIAA, 2020. 725 p.

 14. Crassidis J. L., Junkins J. L. Optimal Estimation of Dynamic Systems. Boca Raton : CRC Press, 2012. 624 p. DOI: https://doi.org/10.1201/b11617

 15. Zarchan P. Tactical and Strategic Missile Guidance. 7th ed. Reston : AIAA, 2019. 1047 p.

 16. Zou, Z., Meng, X., & Karniadakis, G. E. (2024). Correcting Model Misspecification in Physics-Informed Neural Networks. Journal of Computational Physics, 505, 112918. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2024.112918

References

1. McCoy R. L. Modern Exterior Ballistics. Atglen : Schiffer Publishing, 1999. 328 p.

 2. Carlucci D. E., Jacobson S. S. Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition. Boca Raton : CRC Press, 2008. 502 p.

 3. Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Trans. ASME, J. Basic Engineering. 1960. Vol. 82, No. 1. P. 35–45. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3662552

 4. Simon D. Optimal State Estimation: Kalman, H∞, and Nonlinear Approaches. Hoboken : Wiley-Interscience, 2006. 526 p. DOI: https://doi.org/10.1002/0470045345

 5. Hairer E., Nørsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Berlin : Springer, 1993. 528 p.

 6. Grubbs F. E. Statistical Measures of Accuracy for Riflemen and Missile Engineers. Ann Arbor, 1964. 83 p.

 7. Keith A. J., Ahner D. K. A Survey of Decision Making and Optimization Under Uncertainty : Annals of Operations Research, 2021. Vol. 300, No. 2. P. 319–353. DOI: 10.1007/s10479-019-03431-8.

 8. Bertsimas D., Brown D. B., Caramanis C. Theory and Applications of Robust Optimization. SIAM Review. 2011. Vol. 53, No. 3. P. 464–501. DOI: https://doi.org/10.1137/080734510

 9. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge : Cambridge University Press, 2004. 716 p. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441

 10. Tan C., Cai Y., Wang H. et al. Vehicle State Estimation Combining Physics-Informed Neural Network and Unscented Kalman Filtering on Manifolds // Sensors. 2023. Vol. 23. Art. 6665. DOI: 10.3390/s23156665.

 11. Zong, Y., Barajas-Solano, D., & Tartakovsky, A. M. (2025). Randomized physics-informed neural networks for Bayesian data assimilation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 436, Article 117670. https://doi.org/10.1016/j.cma.2024.117670

 12. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G. E. Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear PDEs. J. Comput. Phys. 2019. Vol. 378. P. 686–707. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045

 13. Driels M. Weaponeering: Conventional Weapon System Effectiveness. 2nd ed. Reston : AIAA, 2020. 725 p.

 14. Crassidis J. L., Junkins J. L. Optimal Estimation of Dynamic Systems. Boca Raton : CRC Press, 2012. 624 p. DOI: https://doi.org/10.1201/b11617

 15. Zarchan P. Tactical and Strategic Missile Guidance. 7th ed. Reston : AIAA, 2019. 1047 p.

 16. Zou, Z., Meng, X., & Karniadakis, G. E. (2024). Correcting Model Misspecification in Physics-Informed Neural Networks. Journal of Computational Physics, 505, 112918. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2024.112918

Дата першого надходження статті до видання 19.04.2026

 Дата прийняття статті до друку 26.06.2026

 Дата публікації 01.07.2026

© Ю.М. Аркатов, О.Р. Георгаліна, О.В. Сінявський 2026
Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0)